菜鳥啾

台灣立委選舉結束
有位高人用數學的角度分析了這次選舉的結果
我是看不懂拉，所以只有驚嘆的份~轉來讓各位評鑑評鑑
(雖然以政治為主題但是因為本文太專業姑且把他歸在學術類囉!)



標題 A Naive Mathematical Model for 立委選舉
時間 Sun Jan 13 10:21:02 2008
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昨天晚上本來想要熬夜看開票的
可惜的是我這裡只能看線上文字轉播 很沒fu
一直守到加州時間一點多 也就是開票一個多小時後
看到是六四比 跟預期差不多 沒有什麼特別 就去睡了
沒想到一早醒來
wow 一面倒呀 竟然選成了八二比
吃驚一秒後 轉念想了想
用一點小數學來分析 這樣的結果也就不奇怪了
在這數學模型中 我們做兩個假設

1. 這場選舉裡基本上只有泛藍vs.泛綠 兩大陣營

=> 經由這個假設 兩者的得票率必然加總為1 (若不是 可用正規化消除)

2. 每個選區 兩大陣營的得票率是高斯分布的隨機變數

=> 也就是說 我們可以令每個選區的泛綠得票率為X 泛藍為1-X

而X是一個高斯隨機變數

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因此 在一個選區中 泛綠獲勝的機率就等於X>0.5的機率

要算這個機率 我們需要兩個參數：

X的期望值 u 以及

X的標準差 d
其中的 u 可以由泛綠本次在全國得票率來估計 經正規化後 大約是42.3%

至於 d 的算法比較複雜

但可以用前幾次類似規模的地方單一席次選舉結果來推算

過去三次縣市長選舉的結果是：


藍得票率 綠得票率 正規化後的 藍席次 綠席次 綠得席次
綠得票率 百分比
1997 42.1% 43.3% 50.7% 9 14 60.7%
2001 47.4% 45.3% 48.9% 13 10 43.5%
2005 52.1% 43.1% 45.3% 17 6 26.1%

把這些結果套入上述的模型 (brute-force fitting，略)

可以得出最近似的 d 大約是 7%

用這個 d 來做模擬

可以得到如下的曲線：
http://picasaweb.google.com/kaoyihao/Model/photo#5154771578768453746
這看起來有沒有很熟悉呢？它其實不過就是統計機率中常見的error-function curve

在上述的曲線中 我們同時把本次"區域"立委的結果也標了上去

如果要推算更精確的結果

那要考慮立委和縣市長的選區

雖然大小不一 但總是立委稍小一些 所以它的標準差應該大一些

如果我們帶入 d = 8% (略大於7%)

再配合本次泛綠的大盤 u = 42.3%

可以算出本次泛綠的區域席次大約是：

79 * (1-erf((0.5-0.423)/0.08/sqrt(2)))/2 = 13.26 (席)

跟實際的結果13席比起來算很準囉~
結論就是

這種規模的單一席次選舉 有點像是電子學裡的放大器系統

如果你在該曲線的中央點做個微分

會得到一個大約是5的斜率

也就是說

當藍綠雙方在五五波上拉鋸時

只要在整體支持率上有一個百分點的改變

就會造成席次上有五個百分點的應變

這也就是為什麼 本次泛綠在全國性支持度上雖然只降低4% (46->42)

卻可以造成席次上20%的遽降 (40->20)

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本文純好玩！ 不帶任何政治解讀…